- Über Knoten- und verallgemeinerte singuläre Strukturen von Laplace-Eigenfunktionen und Anwendungen auf inverse Streuprobleme (arXiv)
Autor: Xinlin Cao, Huaian Diao, Hongyu Liu, Jun Zou
Zusammenfassung: In diesem Artikel präsentieren wir einige neue und interessante Erkenntnisse zu den geometrischen Strukturen von Laplace-Eigenfunktionen und ihrer tiefen Beziehung zum quantitativen Verhalten der Eigenfunktionen in zwei Dimensionen. Wir führen einen neuen Begriff verallgemeinerter singulärer Linien der Laplace-Eigenfunktionen ein und untersuchen diese singulären Linien und die Knotenlinien sorgfältig. Die Studien zeigen, dass der Schnittwinkel zwischen zwei dieser Geraden eng mit der verschwindenden Ordnung der Eigenfunktion am Schnittpunkt zusammenhängt. Wir erstellen eine genaue und umfassende quantitative Charakterisierung der Beziehung. Grob gesagt ist die verschwindende Ordnung im Allgemeinen unendlich, wenn der Schnittwinkel {it irrational} ist, und die verschwindende Ordnung ist endlich, wenn der Schnittwinkel rational ist. Tatsächlich ist im letzteren Fall die verschwindende Ordnung der Grad der Rationalität. Die theoretischen Erkenntnisse sind originell und für die Spektraltheorie von erheblichem Interesse. Darüber hinaus werden sie direkt auf einige physikalische Probleme von großer Bedeutung angewendet, darunter das Downside der inversen Hindernisstreuung und das Downside des inversen Beugungsgitters. In einem bestimmten Polygonaufbau wird gezeigt, dass man die Unterstützung des unbekannten Streuers sowie des Oberflächenimpedanzparameters durch endlich viele Fernfeldmuster wiederherstellen kann. Tatsächlich sind für einige wichtige Anwendungen höchstens zwei Fernfeldmuster ausreichend. Die eindeutige Identifizierbarkeit durch endlich viele Fernfeldmuster bleibt ein äußerst anspruchsvolles grundlegendes mathematisches Downside in der inversen Streutheorie
2. Approximierende Punktprodukte von Laplace-Eigenfunktionen (arXiv)
Autor: Jianfeng Lu, Christopher D. Sogge, Stefan Steinerberger
Zusammenfassung: Wir betrachten Laplace-Eigenfunktionen auf einem ad-dimensionalen begrenzten Gebiet M (oder einer ad-dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit M) mit Dirichlet-Bedingungen. Diese Operatoren führen zu einer Folge von Eigenfunktionen (eℓ)ℓ∈N. Wir untersuchen den Unterraum aller punktweisen Produkte
An=span{ei(x)ej(x):1≤i,j≤n}⊆L2(M).
Offensichtlich hat dieser Vektorraum die Dimension dim(An)=n(n+1)/2. Wir beweisen, dass Produkte eiej von Eigenfunktionen in gewissem Sinne einfach sind: Für jedes ε>0 gibt es einen niedrigdimensionalen Vektorraum Bn, der quick alle Produkte enthält. Genauer gesagt, wenn wir die orthogonale Projektion ΠBn:L2(M)→Bn bezeichnen, haben wir
∀ 1≤i,j≤n ∥eiej−ΠBn(eiej)∥L2≤ε
und die Größe des Raums dim(Bn) ist relativ klein: für jedes δ>0,
dim(Bn)≲M,δε−δn1+δ.
Die gleiche Artwork von Schranken erhalten wir für Produkte beliebiger Länge sowie für die Approximation in der H−1-Norm. Punktweise Produkte von Eigenfunktionen haben einen niedrigen Rang. Dies hat unter anderem Auswirkungen auf die Validität schneller Algorithmen bei der Berechnung elektronischer Strukturen
