Vor mehr als einem Jahrhundert Srinivasa Ramanujan schockierte die mathematische Welt mit seiner außergewöhnlichen Fähigkeit, bemerkenswerte Muster in Zahlen zu erkennen, die sonst niemand erkennen konnte. Der autodidaktische Mathematiker aus Indien beschrieb seine Erkenntnisse als zutiefst intuitiv und spirituell, und Muster kamen ihm oft in lebhaften Träumen vor. Diese Beobachtungen erfassten die enorme Schönheit und die schieren Möglichkeiten der abstrakten Welt der reinen Mathematik. In den letzten Jahren haben wir begonnen, KI-Durchbrüche zu beobachten Bereiche, die eine tiefe menschliche Intuition erfordernund in jüngerer Zeit auf einige der schwierigsten Probleme in den Wissenschaftendoch bisher haben die neuesten KI-Techniken nicht zu nennenswerten Ergebnissen in der reinen Mathematikforschung beigetragen.
Im Rahmen Die Mission von DeepMind Um Intelligenz zu lösen, haben wir das Potenzial des maschinellen Lernens (ML) erforscht, mathematische Strukturen und Muster zu erkennen und Mathematikern dabei zu helfen, Entdeckungen zu machen, die sie sonst vielleicht nie gemacht hätten – und haben zum ersten Mal gezeigt, dass KI an der Spitze der reinen Mathematik helfen kann.
Unser Forschungspapier, heute in der Zeitschrift Nature veröffentlicht, beschreibt unsere Zusammenarbeit mit High-Mathematikern, um mithilfe von KI neue Erkenntnisse in zwei Bereichen der reinen Mathematik zu gewinnen: Topologie und Darstellungstheorie. Mit Professor Geordie Williamson An der Universität Sydney haben wir eine neue Formel für eine seit Jahrzehnten ungelöste Vermutung über Permutationen entdeckt. Mit Professor Marc Lackenby Und Professor András Juhász An der Universität Oxford haben wir durch die Untersuchung der Struktur von Knoten eine unerwartete Verbindung zwischen verschiedenen Bereichen der Mathematik entdeckt. Dies seien die ersten bedeutenden mathematischen Entdeckungen, die mit maschinellem Lernen gemacht wurden, so die High-Mathematiker, die die Arbeit rezensiert haben. Zu jedem Ergebnis veröffentlichen wir außerdem vollständige Begleitpapiere zu arXiv, die bei entsprechenden mathematischen Fachzeitschriften eingereicht werden (Permutationspapier; Knoten Papier). Anhand dieser Beispiele schlagen wir ein Modell vor, wie diese Werkzeuge von anderen Mathematikern genutzt werden könnten, um neue Ergebnisse zu erzielen.
Die beiden grundlegenden Objekte, die wir untersuchten, waren Knoten und Permutationen.
Seit vielen Jahren nutzen Mathematiker Pc zur Generierung von Daten, die bei der Suche nach Mustern helfen. Diese als experimentelle Mathematik bekannte Artwork der Forschung hat zu bekannten Vermutungen geführt, wie z die Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung – einer von sechs Probleme mit dem Millenniumspreis, die bekanntesten offenen Probleme in der Mathematik (mit jeweils einem Preisgeld von 1 Million US-Greenback). Obwohl dieser Ansatz erfolgreich conflict und ziemlich verbreitet ist, ist die Identifizierung und Entdeckung von Mustern aus diesen Daten immer noch hauptsächlich auf Mathematiker angewiesen.
Das Finden von Mustern ist in der reinen Mathematik noch wichtiger geworden, da es jetzt möglich ist, mehr Daten zu generieren, als ein Mathematiker vernünftigerweise in seinem Leben erwarten kann. Einige interessante Objekte – beispielsweise solche mit Tausenden von Dimensionen – können auch einfach zu unergründlich sein, als dass man direkt darüber nachdenken könnte. Angesichts dieser Einschränkungen glaubten wir, dass KI in der Lage sein würde, die Erkenntnisse der Mathematiker auf völlig neue Weise zu erweitern.
Es fühlt sich an, als würde Galileo ein Teleskop in die Hand nehmen und tief in das Datenuniversum blicken und Dinge sehen, die noch nie zuvor entdeckt wurden.
Marcus Du Sautoy, Simonyi-Professor für öffentliches Verständnis der Naturwissenschaften und Professor für Mathematik, Universität Oxford
Unsere Ergebnisse legen nahe, dass ML die Mathematikforschung ergänzen kann, um die Instinct über ein Downside zu leiten, indem es mit überwachtem Lernen die Existenz hypothetischer Muster erkennt und mithilfe von Attributionstechniken aus maschinellem Lernen Einblick in diese Muster gibt:
Gemeinsam mit Professor Williamson haben wir KI genutzt, um einen neuen Ansatz für eine seit langem bestehende Vermutung in der Darstellungstheorie zu entdecken. Seit quick 40 Jahren trotzt die kombinatorische Invarianzvermutungbesagt, dass zwischen bestimmten gerichteten Graphen und Polynomen eine Beziehung bestehen sollte. Mithilfe von ML-Techniken konnten wir die Gewissheit gewinnen, dass eine solche Beziehung tatsächlich existiert, und feststellen, dass sie möglicherweise mit Strukturen zusammenhängt, die als gebrochene Diederintervalle und Extremreflexionen bekannt sind. Mit diesem Wissen konnte Professor Williamson einen überraschenden und schönen Algorithmus vermuten, der die Vermutung der kombinatorischen Invarianz lösen würde. Wir haben den neuen Algorithmus anhand von mehr als 3 Millionen Beispielen rechnerisch verifiziert.
Mit Professor Lackenby und Professor Juhász erforschten wir Knoten – eines der grundlegenden Forschungsobjekte der Topologie. Knoten erzählen uns nicht nur von den vielen Arten, wie ein Seil verwickelt werden kann, sondern haben auch überraschende Zusammenhänge mit der Quantenfeldtheorie und der nichteuklidischen Geometrie. Algebra, Geometrie und Quantentheorie teilen alle einzigartige Perspektiven auf diese Objekte und ein seit langem bestehendes Rätsel ist, wie diese verschiedenen Zweige zusammenhängen: Was sagt uns beispielsweise die Geometrie des Knotens über die Algebra? Wir trainierten ein ML-Modell, um ein solches Muster zu entdecken, und überraschenderweise zeigte sich dabei, dass eine bestimmte algebraische Größe – die Signatur – in direktem Zusammenhang mit der Geometrie des Knotens stand, was zuvor weder bekannt conflict noch durch die bestehende Theorie nahegelegt wurde. Mithilfe von Attributionstechniken des maschinellen Lernens haben wir Professor Lackenby dabei unterstützt, eine neue Größe zu entdecken, die wir die natürliche Steigung nennen und die auf einen wichtigen Aspekt der Struktur hinweist, der bisher übersehen wurde. Gemeinsam konnten wir dann die genaue Natur der Beziehung nachweisen und einige der ersten Verbindungen zwischen diesen verschiedenen Zweigen der Mathematik herstellen.
Der Einsatz von Lerntechniken und KI-Systemen ist vielversprechend für die Identifizierung und Entdeckung von Mustern in der Mathematik. Auch wenn bestimmte Arten von Mustern dem modernen ML weiterhin entgehen, hoffen wir unser Nature-Papier kann andere Forscher dazu inspirieren, das Potenzial von KI als nützliches Werkzeug in der reinen Mathematik zu betrachten. Um die Ergebnisse zu reproduzieren, kann jeder auf unsere zugreifen interaktive Notizbücher. Nachdenken über den unglaublichen Geist von Ramanujan, George Frederick James Tempel schrieb: „Die großen Fortschritte in der Mathematik wurden nicht durch Logik, sondern durch kreative Vorstellungskraft erzielt.“ Wir freuen uns darauf, in Zusammenarbeit mit Mathematikern zu sehen, wie KI die Schönheit der menschlichen Instinct auf ein neues Niveau der Kreativität heben kann.
