- Aussagenlogiken für das Lawvere Quantale (arXiv)
Autor: Giorgio Bacci, Radu Mardare, Prakash Panangaden, Gordon Plotkin
Zusammenfassung: Lawvere zeigte, dass verallgemeinerte metrische Räume über angereicherte Kategorien sind [0,∞], das Quantal der positiven erweiterten Realzahlen. Die Bereicherungserklärung ist ein quantitatives Analogon zur Vorbestellung. Auf der Suche nach einer Logik für quantitatives metrisches Denken untersuchen wir drei (eng verwandte) vielwertige Aussagenlogiken über dem Lawvere-Quantale. Die grundlegenden logischen Verknüpfungen, die allen drei Logiken gemeinsam sind, können in jedem Quantal interpretiert werden, nämlich endliche Konjunktionen und Disjunktionen, Tensor (Addition für das Lawvere-Quantal) und lineare Implikation (hier eine verkürzte Subtraktion); Zu diesen addieren wir wiederum die Konstante 1, um ganzzahlige Werte auszudrücken, und eine Skalarmultiplikation mit einer nichtnegativen reellen Zahl, um allgemeine affine Kombinationen auszudrücken. Die propositionale boolesche Logik kann bereits in der ersten dieser Logiken interpretiert werden; Die Łukasiewicz-Logik kann im zweiten interpretiert werden; Ben Yaacovs kontinuierliche Aussagenlogik kann im dritten interpretiert werden; und quantitative Gleichungslogik kann im dritten interpretiert werden, wenn wir Inferenzsysteme anstelle von axiomatischen Systemen zulassen. Für jede dieser Logiken entwickeln wir ein natürliches Deduktionssystem, von dem wir beweisen, dass es in Bezug auf die quantenwertige Semantik entscheidbar vollständig ist. Das Herzstück des Vollständigkeitsbeweises ist die Verwendung des Motzkin-Transpositionssatzes. Konsistenz ist ebenfalls entscheidbar; Der Beweis nutzt die Fourier-Motzkin-Eliminierung linearer Ungleichungen. Eine starke Vollständigkeit gilt im Allgemeinen nicht, selbst nicht für Theorien über endlich viele Aussagenvariablen; tatsächlich gilt nicht einmal eine annähernde Type starker Vollständigkeit im Sinne von Ben Yaacov – Beweisbarkeit bis zu willkürlicher Präzision. Wir können es jedoch für solche Theorien zeigen, die nur Modelle haben, die niemals Variablen auf ∞ abbilden; Der Beweis verwendet Hurwicz‘ allgemeine Type des Farkas-Lemmas
2.Einige Bemerkungen zur Zählaussagenlogik (arXiv)
Autor: Melissa Antonelli
Zusammenfassung: Zählaussagenlogik wurde kürzlich in Bezug auf randomisierte Berechnungen eingeführt und hat gezeigt, dass sie die vollständige Zählhierarchie logisch charakterisieren kann. In diesem Artikel wollen wir die intuitive Bedeutung und Ausdruckskraft seines univariaten Fragments klären. Einerseits stellen wir ein effektives Verfahren zur Messung der Wahrscheinlichkeit von Zählformeln bereit. Andererseits machen wir den Zusammenhang zwischen dieser Logik und stochastischen Experimenten explizit und beweisen, dass die Zählsprache jedes (und einzige) Ereignis simulieren kann, das mit dyadischen Verteilungen verbunden ist
